神经网络和深度学习-第二周神经网络基础-第八节:计算图的导数计算

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上一节中,我们使用计算图来计算函数$J$,现在我们理清一下计算图的描述,看看我们如何利用它计算出函数$J$的导数。

下图是一个流程图,假设你要计算$J$对$v$的导数$\frac{dJ}{dv}$,比如我们改变$v$值那么$J$的值怎么呢?定义上$J$是$3v$,现在$v=11$,所以如果让$v$增加一点点,比如到11.001,那么$J$增加到33.003。所以这里$v$增加了1.001,最终结果是$J$上升到原来3倍,所以$J$对$v$的导数等于3。因为对于任何$v$的增量,$J$都会有三倍增量。

在反向传播算法中,我们看到如果你想计算最后输出变量的导数,使用你最关心的变量对v的导数。那么我们就做完了一步反向传播,所以在这个流程图中是一个反向步。

我们来看另一个例子,$\frac{dJ}{da}$又是多少?换句话说,如果我们提高a的数值,对$J$的数值有什么影响?我们看看这个例子变量$a=5$,我们让它增加到5.001,那么对v的影响就是$a+U=11.001$,$J$就变成了33.003了。所以我们看到的是如果你让a增加0.001,$J$增加0.003。所以可以看出,当a变化时,其变化会传播到流程图的最右边。所以$J$的增量是3乘以a的增量,这意味着导数是3。要解释这样计算过程其中一个方式就是如果你改变了a,那也会改变v,通过改变v也会改变$J$。这在微积分里实际上叫链式法则,就是当你改变a时v的变化量乘以改v时J的变化量。我们从这个计算中看到如果你让a增加0.001,v也会变化相同的大小所以$\frac{dv}{da}=1$。

现在我们介绍一种新的符号约定,当你编程实现反向传播时,通常会有一个最终输出值是你要关心的或要优化的(Final output variable),在这种情况下,最终的输出变量是J(计算图里最后一个符号)。所以,有很多计算方试计算输出变量的导数。所以d FinalOutputVar是对某个变量的导数,我们就用d var表示。所以在很多计算中你需要计算最终输出结果的导数,在这个例子里是$J$,还有各种中间变量,比如a b c u v。当你在软件里实现的时候,变量名叫什么?你可以做的一件事是,在Python中,可以用dJ/dvar,但因为你一直对dJ求导,对这个最终输出变量求导,这里要介绍一个新的符号,在程序里我们就使用变量名dvar来表示你关心的最终变量的导数(var可能是J/L等)。

所以在代码中dv=3,dJ=3。通过这个流程图部分完成的后向传播算法,我们在下一节看这个例子剩下的部分。